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A estabilidade é reconhecida como um importante problema para a segurança da operação desde a década de 1920. Muitos <em>blackouts</em> de grande porte causados pela instabilidade do SEP têm ilustrado a importância desse fenômeno.</p><div><center><img src="/PSP/images/stability.svg" alt="Estabilidade" title="Estabilidade"></center></div><p>Normalmente são realizados dois tipos de estudos de estabilidade (uma classificação mais aprofundada pode ser observada <a href="https://doi.org/10.1109/TPWRS.2004.825981" target="_blank" rel="noopener noreferrer">nesse artigo</a>). A recuperação de uma rápida e brusca perturbação é chamada de <strong>estabilidade transitória</strong>, e sua solução é geralmente obtida no domínio do tempo. Outro estudo é denominado <strong>estabilidade dinâmica</strong>, utilizado para descrever a resposta do sistema frente a pequenas perturbações ao longo de muito tempo, o qual pode ser resolvido tanto no domínio da frequência quanto no domínio do tempo.</p><div class="admonition admonition-info alert alert--info"><div class="admonition-heading"><h5><span class="admonition-icon"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14" height="16" viewBox="0 0 14 16"><path fill-rule="evenodd" d="M7 2.3c3.14 0 5.7 2.56 5.7 5.7s-2.56 5.7-5.7 5.7A5.71 5.71 0 0 1 1.3 8c0-3.14 2.56-5.7 5.7-5.7zM7 1C3.14 1 0 4.14 0 8s3.14 7 7 7 7-3.14 7-7-3.14-7-7-7zm1 3H6v5h2V4zm0 6H6v2h2v-2z"></path></svg></span>Informação</h5></div><div class="admonition-content"><p>No PSP-UFU, a estabilidade dinâmica é tratada como uma extensão da estabilidade transitória, em que os efeitos de pequenas constantes de tempo devem ser ignorados.</p></div></div><p>O modelo para representação do SEP em um estudo de estabilidade transitória é feito por meio do sistema de equações algébrico-diferenciais (EADs), em que o estado inicial é considerado estável e originado de um estudo de <a href="/PSP/docs/powerFlow">fluxo de carga</a>. A solução das equações se dá por meio de um <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_integration" target="_blank" rel="noopener noreferrer">método de integração numérica</a> e, então, é observada a resposta do sistema de potência.</p><p>Caso a solução no domínio do tempo, após alguma perturbação, leve um ou mais parâmetros do sistema a valores fisicamente impossíveis ou, até mesmo, a solução das equações diferenciais não obtenha convergência em processos iterativos, o sistema é dito <strong>instável</strong>. Em contrapartida, caso as variáveis de estado dos elementos do sistema oscilem após uma perturbação e se estabeleçam em um novo ponto de operação, mesmo que distinto dos valores iniciais, o sistema é considerado <strong>estável</strong>.</p><h2><a aria-hidden="true" tabindex="-1" class="anchor enhancedAnchor_2LWZ" id="execução-do-estudo-de-estabilidade-no-psp-ufu"></a>Execução do estudo de estabilidade no PSP-UFU<a class="hash-link" href="#execução-do-estudo-de-estabilidade-no-psp-ufu" title="Direct link to heading">#</a></h2><p>Após a construção do diagrama unifilar no <a href="/PSP/docs/powerEditor">editor de potência</a>, assim como os <a href="/PSP/docs/controlEditor">controles</a> das <a href="/PSP/docs/syncGenerator">máquinas síncronas</a>, a execução da estabilidade é realizada no <a href="/PSP/docs/mainScreen#menu-ribbon">menu Simulação</a> clicando no ícone do botão <strong>Executar Estabilidade</strong>. Ao clicar na parte inferior do botão "Executar Estabilidade" será exibido um menu suspenso com a opção <strong>Lista de eventos de estabilidade</strong>.</p><div><center><img src="/PSP/images/menuSimulationStability.svg" alt="Menu Simulação" title="Menu Simulação"></center></div><p>Ao executar o cálculo de estabilidade, uma caixa com o status do processo de simulação será exibida, indicando primeiramente a inicialização do estudo e posteriormente o tempo de simulação calculado.</p><p>Ao clicar na lista de eventos de estabilidade, será exibida uma janela com a descrição dos eventos de estabilidade inseridos.</p><div><center><img src="/PSP/images/stabList.png" alt="Lista de eventos de estabilidade" title="Lista de eventos de estabilidade"></center></div><h3><a aria-hidden="true" tabindex="-1" class="anchor enhancedAnchor_2LWZ" id="inserindo-um-evento-de-estabilidade"></a>Inserindo um evento de estabilidade<a class="hash-link" href="#inserindo-um-evento-de-estabilidade" title="Direct link to heading">#</a></h3><p>Os distúrbios mais comuns aplicados em estudos de estabilidade transitória são faltas e chaveamentos. Tais operações são facilmente realizadas no PSP-UFU:</p><ul><li><p><strong>Faltas</strong>: Curtos-circuitos trifásicos podem ser inseridos nos <a href="/PSP/docs/bus">barramentos</a> do sistema por meio da inclusão da impedância de falta na matriz admitância de barras da mesma maneira realizada em um elemento <em>shunt</em>. Tal valor é definido pelo usuário e caso seja um curto-circuito franco, um valor não nulo, mas suficientemente próximo de zero, é aplicado, de forma que a tensão no barramento é levada a zero durante o distúrbio.</p></li><li><p><strong>Chaveamento de ramo</strong>: Da mesma forma que as faltas, o chaveamento de ramos é realizado por meio da alteração na matriz admitância, removendo ou inserindo os parâmetros do elemento a ser chaveado.
Cada <a href="/PSP/docs/powerEditor">elemento de potência</a> possui um botão de "Chaveamento" ou "Estabilidade", em que pode ser inserido os tempos de remoção e/ou inserção do componente.</p></li><li><p><strong>Chaveamento de máquinas</strong>: A remoção de uma máquina síncrona é efetivada com a retirada de sua participação no vetor de correntes, além da remoção de sua admitância fictícia.
Assim como os <a href="/PSP/docs/powerEditor">elementos de potência</a>, as <a href="/PSP/docs/syncGenerator">máquinas síncronas</a> possui um botão "Chaveamento", em que pode ser inserido os tempos de remoção e/ou inserção do componente.</p><div class="admonition admonition-caution alert alert--warning"><div class="admonition-heading"><h5><span class="admonition-icon"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="16" height="16" viewBox="0 0 16 16"><path fill-rule="evenodd" d="M8.893 1.5c-.183-.31-.52-.5-.887-.5s-.703.19-.886.5L.138 13.499a.98.98 0 0 0 0 1.001c.193.31.53.501.886.501h13.964c.367 0 .704-.19.877-.5a1.03 1.03 0 0 0 .01-1.002L8.893 1.5zm.133 11.497H6.987v-2.003h2.039v2.003zm0-3.004H6.987V5.987h2.039v4.006z"></path></svg></span>Atenção!</h5></div><div class="admonition-content"><p>Mesmo que removida da barra, os parâmetros das <a href="/PSP/docs/syncGenerator">máquinas síncronas</a> continuam a ser calculados com a corrente do estator nula, podendo fornecer resultados em uma eventual reconexão.</p></div></div></li></ul><div class="admonition admonition-tip alert alert--success"><div class="admonition-heading"><h5><span class="admonition-icon"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="12" height="16" viewBox="0 0 12 16"><path fill-rule="evenodd" d="M6.5 0C3.48 0 1 2.19 1 5c0 .92.55 2.25 1 3 1.34 2.25 1.78 2.78 2 4v1h5v-1c.22-1.22.66-1.75 2-4 .45-.75 1-2.08 1-3 0-2.81-2.48-5-5.5-5zm3.64 7.48c-.25.44-.47.8-.67 1.11-.86 1.41-1.25 2.06-1.45 3.23-.02.05-.02.11-.02.17H5c0-.06 0-.13-.02-.17-.2-1.17-.59-1.83-1.45-3.23-.2-.31-.42-.67-.67-1.11C2.44 6.78 2 5.65 2 5c0-2.2 2.02-4 4.5-4 1.22 0 2.36.42 3.22 1.19C10.55 2.94 11 3.94 11 5c0 .66-.44 1.78-.86 2.48zM4 14h5c-.23 1.14-1.3 2-2.5 2s-2.27-.86-2.5-2z"></path></svg></span>Dica</h5></div><div class="admonition-content"><p>Eventos nos <strong>sistemas de controle</strong> podem ser facilmente introduzidos com o bloco de <a href="/PSP/docs/mathExpression">expressão matemática</a>. Nesse caso, tais eventos <strong>não</strong> serão exibidos na lista de eventos de estabilidade.</p></div></div><h3><a aria-hidden="true" tabindex="-1" class="anchor enhancedAnchor_2LWZ" id="erros-comuns-na-execução-do-estudo-de-estabilidade"></a>Erros comuns na execução do estudo de estabilidade<a class="hash-link" href="#erros-comuns-na-execução-do-estudo-de-estabilidade" title="Direct link to heading">#</a></h3><p>A seguir são apresentados os erros mais comuns relacionados ao estudo de estabilidade.</p><h4><a aria-hidden="true" tabindex="-1" class="anchor enhancedAnchor_2LWZ" id="a-seguinte-mensagem-de-erro-é-exibida-não-foi-possível-construir-a-matriz-admitância"></a>A seguinte mensagem de erro é exibida: "Não foi possível construir a matriz admitância"<a class="hash-link" href="#a-seguinte-mensagem-de-erro-é-exibida-não-foi-possível-construir-a-matriz-admitância" title="Direct link to heading">#</a></h4><p>Essa mensagem de erro é exibida quando não é possível construir a matriz admitância de barras. As seguintes situações podem ocasionar esse erro:</p><ul><li><strong>Os parâmetros do circuito estão incorretos</strong>. Caso parâmetros muito fora dos valores padrão dos elementos elétricos sejam inseridos, o cálculo de fluxo de carga pode divergir. Verifique se os dados foram inseridos corretamente.</li><li><strong>Algum barramento está isolado</strong>. Esse erro é bastante comum e pode ocorrer ao inserir um barramento sem conectá-lo ao sistema ou ao remover os elementos de ramo que conectam uma barra ao sistema. A solução é eliminar essa barra do diagrama.</li><li><strong>Algum elemento possui parâmetros discrepantes dos demais</strong>. Caso um dos elementos inseridos possua um valor de impedância muito distinto dos demais, como por exemplo uma linha com impedância muito elevada ou uma carga muito pequena, pode levar à divergência do método numérico. Nesse caso, reconsidere a necessidade de representação desses elementos no circuito e alterne entre os métodos numéricos de solução disponíveis.</li></ul><h4><a aria-hidden="true" tabindex="-1" class="anchor enhancedAnchor_2LWZ" id="a-seguinte-mensagem-de-erro-é-exibida-erro-ao-inicializar-os-valores-de-saturação-do"></a>A seguinte mensagem de erro é exibida: "Erro ao inicializar os valores de saturação do..."<a class="hash-link" href="#a-seguinte-mensagem-de-erro-é-exibida-erro-ao-inicializar-os-valores-de-saturação-do" title="Direct link to heading">#</a></h4><p>Essa mensagem de erro é exibida quando não é possível calcular os fatores de saturação da <a href="/PSP/docs/syncGenerator">máquina síncrona</a>. As seguintes situações podem ocasionar esse erro:</p><ul><li><strong>O fator de saturação é menor que 1,2</strong>. Esse valor deve ser maior que 1,2, ou irá gerar erros na simulação. Caso não seja informado, a saturação da máquina não é considerada nos cálculos.</li><li><strong>Os parâmetros da máquina síncrona estão incorretos</strong>. Caso parâmetros muito fora dos valores padrão das máquinas síncronas sejam inseridos, o cálculo dos fatores de saturação pode divergir. Verifique se os dados foram inseridos corretamente.</li></ul><h4><a aria-hidden="true" tabindex="-1" class="anchor enhancedAnchor_2LWZ" id="a-seguinte-mensagem-de-erro-é-exibida-erro-ao-inicializar-o-avr--regulador-de-velocidade"></a>A seguinte mensagem de erro é exibida: "Erro ao inicializar o AVR / regulador de velocidade..."<a class="hash-link" href="#a-seguinte-mensagem-de-erro-é-exibida-erro-ao-inicializar-o-avr--regulador-de-velocidade" title="Direct link to heading">#</a></h4><p>Essa mensagem de erro é exibida quando não é possível <a href="/PSP/docs/controlEditor#inicializa%C3%A7%C3%A3o-do-sistema-de-controle">inicializar o sistema de controle</a> de uma <a href="/PSP/docs/syncGenerator">máquina síncrona</a>. As seguintes situações podem ocasionar esse erro:</p><ul><li><strong>O sistema de controle está vazio</strong>. Caso esteja habilitado o AVR e/ou o regulador de velocidade e o controle não foi inserido, esse erro pode ser acionado. Insira o controle da máquina ou desmarque a opção de utilização do AVR e/ou regulador de velocidade.</li><li><strong>O sistema de controle não possui ao menos uma entrada e uma saída</strong>. O sistema de controle deve ter ao menos uma <a href="/PSP/docs/io">entrada e uma saída</a>, caso contrário apresentará erro de execução.</li><li><strong>O passo de integração está muito pequeno</strong>. Caso o passo de integração esteja muito pequeno, os cálculos gerarão erros e irão divergir. Reduza o passo de integração nas <a href="/PSP/docs/simulationConfig">configurações de simulação</a>.</li></ul><h4><a aria-hidden="true" tabindex="-1" class="anchor enhancedAnchor_2LWZ" id="a-seguinte-mensagem-de-erro-é-exibida-impossível-resolver-as-máquinas-do-sistema"></a>A seguinte mensagem de erro é exibida: "Impossível resolver as máquinas do sistema"<a class="hash-link" href="#a-seguinte-mensagem-de-erro-é-exibida-impossível-resolver-as-máquinas-do-sistema" title="Direct link to heading">#</a></h4><p>Essa mensagem de erro é exibida quando não é possível resolver as EADs das máquinas síncronas inseridas no sistemas. As seguintes situações podem ocasionar esse erro:</p><ul><li><strong>Os parâmetros da máquina síncrona estão incorretos</strong>. Caso parâmetros muito fora dos valores padrão das máquinas síncronas sejam inseridos, o cálculo das EADs pode se tornar impossível. Verifique se os dados foram inseridos corretamente.</li><li><strong>O passo de integração está muito pequeno</strong>. Caso o passo de integração esteja muito pequeno, os cálculos gerarão erros e irão divergir. Reduza o passo de integração nas <a href="/PSP/docs/simulationConfig">configurações de simulação</a>.</li><li><strong>Os parâmetros do circuito estão incorretos</strong>. Caso parâmetros muito fora dos valores padrão dos elementos elétricos sejam inseridos, o cálculo de fluxo de carga pode divergir. Verifique se os dados foram inseridos corretamente.</li><li><strong>Algum barramento está isolado</strong>. Esse erro é bastante comum e pode ocorrer ao inserir um barramento sem conectá-lo ao sistema ou ao remover os elementos de ramo que conectam uma barra ao sistema. A solução é eliminar essa barra do diagrama.</li><li><strong>Algum elemento possui parâmetros discrepantes dos demais</strong>. Caso um dos elementos inseridos possua um valor de impedância muito distinto dos demais, como por exemplo uma linha com impedância muito elevada ou uma carga muito pequena, pode levar à divergência do método numérico. Nesse caso, reconsidere a necessidade de representação desses elementos no circuito e alterne entre os métodos numéricos de solução disponíveis.</li></ul><h4><a aria-hidden="true" tabindex="-1" class="anchor enhancedAnchor_2LWZ" id="a-seguinte-mensagem-de-erro-é-exibida-erro-ao-inicializar-o-escorregamento-do-motor"></a>A seguinte mensagem de erro é exibida: "Erro ao inicializar o escorregamento do motor..."<a class="hash-link" href="#a-seguinte-mensagem-de-erro-é-exibida-erro-ao-inicializar-o-escorregamento-do-motor" title="Direct link to heading">#</a></h4><p>Essa mensagem de erro é exibida quando não é possível calcular o valor de escorregamento inicial do motor de indução. As seguintes situações podem ocasionar esse erro:</p><ul><li><strong>Os parâmetros de estabilidade do motor estão incorretos</strong>. Caso parâmetros muito fora dos valores padrão dos motores de indução sejam inseridos, o cálculo do escorregamento pode se tornar impossível. Verifique se os dados foram inseridos corretamente.</li></ul><h2><a aria-hidden="true" tabindex="-1" class="anchor enhancedAnchor_2LWZ" id="estrutura-da-ferramenta-de-estabilidade"></a>Estrutura da ferramenta de estabilidade<a class="hash-link" href="#estrutura-da-ferramenta-de-estabilidade" title="Direct link to heading">#</a></h2><p>A estabilidade de um SEP é um problema dinâmico e necessita de modelos mais elaborados de elementos de potência comparados àqueles apresentados nos outros estudos. Esses modelos são descritos individualmente, com destaque às <a href="/PSP/docs/syncGenerator#gerador-s%C3%ADncrono-no-estudo-de-estabilidade">máquinas síncronas</a>, <a href="/PSP/docs/load#carga-no-estudo-de-estabilidade">cargas ZIP</a> e <a href="/PSP/docs/indMotor#motor-de-indu%C3%A7%C3%A3o-trif%C3%A1sico-no-estudo-de-estabilidade">motores de indução</a>.</p><p>A representação dos demais componentes do sistema elétrico: <a href="/PSP/docs/line">linhas de transmissão</a>, <a href="/PSP/docs/transformer">transformadores</a> e elementos <em>shunt</em> (com exceção de cargas ZIP), que formam a rede de transmissão ou distribuição balanceada, é realizada utilizando os mesmos modelos do <a href="/PSP/docs/powerFlow">fluxo de carga</a>.</p><p>Os modelos dinâmicos para a análise no domínio do tempo são na forma de um sistema de equações algébrico-diferenciais (EADs), descritas a seguir:</p><div class="math math-display"><span class="katex-display"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo separator="true">,</mo><mi>y</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo><mspace linebreak="newline"></mspace><mi>g</mi><mo>=</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo separator="true">,</mo><mi>y</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\dfrac{dx}{dt}= f(x,y,u)\\ g = f(x,y)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:2.05744em;vertical-align:-0.686em"></span><span class="mord"><span class="mopen nulldelimiter"></span><span class="mfrac"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:1.37144em"><span style="top:-2.314em"><span class="pstrut" style="height:3em"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">d</span><span class="mord mathdefault">t</span></span></span><span style="top:-3.23em"><span class="pstrut" style="height:3em"></span><span class="frac-line" style="border-bottom-width:0.04em"></span></span><span style="top:-3.677em"><span class="pstrut" style="height:3em"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">d</span><span class="mord mathdefault">x</span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.686em"><span></span></span></span></span></span><span class="mclose nulldelimiter"></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em"></span><span class="mord mathdefault" style="margin-right:0.10764em">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathdefault">x</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em"></span><span class="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em">y</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em"></span><span class="mord mathdefault">u</span><span class="mclose">)</span></span><span class="mspace newline"></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.625em;vertical-align:-0.19444em"></span><span class="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em">g</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em"></span><span class="mord mathdefault" style="margin-right:0.10764em">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathdefault">x</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em"></span><span class="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em">y</span><span class="mclose">)</span></span></span></span></span></div><p>Em que:</p><ul><li><span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>x</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">x</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.43056em;vertical-align:0em"></span><span class="mord mathdefault">x</span></span></span></span></span> são as variáveis de estado</li><li><span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>y</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">y</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.625em;vertical-align:-0.19444em"></span><span class="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em">y</span></span></span></span></span> são as variáveis de algébricas</li><li><span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.43056em;vertical-align:0em"></span><span class="mord mathdefault">u</span></span></span></span></span> são as variáveis de entrada</li></ul><p>As variáveis de entrada são inseridas pelo usuário e permanecem constantes durante todo o processo de cálculo. Para o problema de estabilidade, as variáveis algébricas iniciais correspondem às tensões e ângulos das barras calculadas no <a href="/PSP/docs/powerFlow">fluxo de carga</a>. As variáveis de estado iniciais são estimadas após a convergência do fluxo de potência (inicialização dos elementos dinâmicos).</p><p>Na sequência é apresentado, na forma de fluxogramas, a estrutura do módulo de estabilidade implementado no PSP-UFU. O fluxograma abaixo mostra a estrutura geral da ferramenta de estabilidade.</p><div><center><img src="/PSP/images/stabGeneral.svg" alt="Estrutura geral da ferramenta de estabilidade" title="Estrutura geral da ferramenta de estabilidade"></center></div><p>A inicialização da rede elétrica e dos elementos dinâmicos, assim como o precesso iterativo para solução das EADs são apresentados nos dois fluxogramas conseguintes.</p><div><center><img src="/PSP/images/stabInit.svg" alt="Inicialização da ferramenta de estabilidade" title="Inicialização da ferramenta de estabilidade"></center></div><div><center><img src="/PSP/images/stabIterative.svg" alt="Processo iterativo para cálculo dos elementos dinâmicos" title="Estrutura geral da ferramenta de estabilidade"></center></div><h3><a aria-hidden="true" tabindex="-1" class="anchor enhancedAnchor_2LWZ" id="integração-numérica"></a>Integração numérica<a class="hash-link" href="#integração-numérica" title="Direct link to heading">#</a></h3><p>Para resolver as equações diferenciais da máquina é necessário um método de integração numérica. Tais métodos são classificados em dois grupos: métodos explícitos e métodos implícitos. Os métodos explícitos, devido à sua formulação, calculam diretamente o estado do sistema em um instante de tempo posterior, enquanto métodos implícitos envolvem estados atuais e posteriores em suas equações, exigindo, portanto, um processo iterativo.</p><p>As constantes de tempo presentes no estudo de estabilidade têm uma grande variação em seu valor (podem variar de <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mn>1</mn><msup><mn>0</mn><mrow><mo>−</mo><mn>3</mn></mrow></msup><mtext> </mtext><mi>s</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">10^{-3}~s</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8141079999999999em;vertical-align:0em"></span><span class="mord">1</span><span class="mord"><span class="mord">0</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141079999999999em"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em"><span class="pstrut" style="height:2.7em"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">−</span><span class="mord mtight">3</span></span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace nobreak"> </span><span class="mord mathdefault">s</span></span></span></span></span> a <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mn>10</mn><mtext> </mtext><mi>s</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">10~s</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.64444em;vertical-align:0em"></span><span class="mord">1</span><span class="mord">0</span><span class="mspace nobreak"> </span><span class="mord mathdefault">s</span></span></span></span></span>). Isso torna o sistema de equações diferenciais da máquina síncrona como um sistema rígido (<em><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Stiff_equation" target="_blank" rel="noopener noreferrer">stiff equation</a></em>). Caso a análise da estabilidade numérica tanto das equações diferenciais rígidas quanto do método de integração obtenham o mesmo comportamento, o método é chamado de absolutamente estável, ou A-estável.</p><p>Métodos de integração numérica explícitos, como por exemplo o <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Runge%E2%80%93Kutta_methods" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Runge-Kutta</a> de quarta ordem, não podem ser A-estáveis e, portanto, normalmente possuem comportamento ruim em problemas com equações diferenciais rígidas. Por outro lado, métodos implícitos podem ser A-estáveis. Um método implícito adequado para solução do comportamento dinâmico de sistemas elétricos é o <strong>Trapezoidal Implícito</strong>, por possuir as seguintes vantagens:</p><ul><li>É numericamente estável (A-estável);</li><li>É bastante rápida;</li><li>Possui boa precisão (dependendo somente do passo de integração utilizado).</li></ul><p>Tal método foi implementado no PSP-UFU tanto para solução das equações diferenciais da máquina síncrona quanto nas <a href="/PSP/docs/transferFunction">funções transferência</a> do <a href="/PSP/docs/controlEditor">sistema de controle</a>. Sua formulação é dada pela seguinte expressão:</p><div class="math math-display"><span class="katex-display"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>y</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>y</mi><mi>n</mi></msub><mo>+</mo><mn>0</mn><mo separator="true" lspace="0em" rspace="0em">,</mo><mn>5</mn><mi>h</mi><mrow><mo fence="true">(</mo><msubsup><mi>y</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mo mathvariant="normal" lspace="0em" rspace="0em">′</mo></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>y</mi><mi>n</mi><mo mathvariant="normal" lspace="0em" rspace="0em">′</mo></msubsup><mo fence="true">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex">y_{n+1}=y_n + 0{,}5 h \left(y_{n+1}' + y_{n}' \right)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.638891em;vertical-align:-0.208331em"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em">y</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.301108em"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:-0.03588em;margin-right:0.05em"><span class="pstrut" style="height:2.7em"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span><span class="mbin mtight">+</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.208331em"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7777700000000001em;vertical-align:-0.19444em"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em">y</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.151392em"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:-0.03588em;margin-right:0.05em"><span class="pstrut" style="height:2.7em"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1.20001em;vertical-align:-0.35001em"></span><span class="mord">0</span><span class="mord"><span class="mpunct">,</span></span><span class="mord">5</span><span class="mord mathdefault">h</span><span class="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em"></span><span class="minner"><span class="mopen delimcenter" style="top:0em"><span class="delimsizing size1">(</span></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em">y</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.801892em"><span style="top:-2.4530000000000003em;margin-left:-0.03588em;margin-right:0.05em"><span class="pstrut" style="height:2.7em"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span><span class="mbin mtight">+</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span><span style="top:-3.1130000000000004em;margin-right:0.05em"><span class="pstrut" style="height:2.7em"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">′</span></span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.305331em"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em">y</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8018919999999999em"><span style="top:-2.4530000000000003em;margin-left:-0.03588em;margin-right:0.05em"><span class="pstrut" style="height:2.7em"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span></span></span></span><span style="top:-3.113em;margin-right:0.05em"><span class="pstrut" style="height:2.7em"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">′</span></span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.247em"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mclose delimcenter" style="top:0em"><span class="delimsizing size1">)</span></span></span></span></span></span></span></div><p>Em que:</p><ul><li><span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>h</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">h</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.69444em;vertical-align:0em"></span><span class="mord mathdefault">h</span></span></span></span></span> é o passo de integração</li><li><span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>y</mi><mi>n</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">y_n</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.625em;vertical-align:-0.19444em"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em">y</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.151392em"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:-0.03588em;margin-right:0.05em"><span class="pstrut" style="height:2.7em"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> é o valor do estado no passo anterior (instante <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>t</mi><mi>n</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">t_n</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.76508em;vertical-align:-0.15em"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">t</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.151392em"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em"><span class="pstrut" style="height:2.7em"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>)</li><li><span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>y</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">y_{n+1}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.638891em;vertical-align:-0.208331em"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em">y</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.301108em"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:-0.03588em;margin-right:0.05em"><span class="pstrut" style="height:2.7em"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span><span class="mbin mtight">+</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.208331em"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> é o valor do estado no passo atual (instante <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>t</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">t_{n+1}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8234109999999999em;vertical-align:-0.208331em"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">t</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.301108em"><span style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em"><span class="pstrut" style="height:2.7em"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span><span class="mbin mtight">+</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.208331em"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>)</li><li><span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msubsup><mi>y</mi><mi>n</mi><mo mathvariant="normal" lspace="0em" rspace="0em">′</mo></msubsup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">y_{n}'</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.998892em;vertical-align:-0.247em"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em">y</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.751892em"><span style="top:-2.4530000000000003em;margin-left:-0.03588em;margin-right:0.05em"><span class="pstrut" style="height:2.7em"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span></span></span></span><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em"><span class="pstrut" style="height:2.7em"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">′</span></span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.247em"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> é a equação diferencial no passo anterior</li><li><span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msubsup><mi>y</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mo mathvariant="normal" lspace="0em" rspace="0em">′</mo></msubsup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">y_{n+1}'</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.058331em;vertical-align:-0.30643899999999996em"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em">y</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.751892em"><span style="top:-2.451892em;margin-left:-0.03588em;margin-right:0.05em"><span class="pstrut" style="height:2.7em"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathdefault mtight">n</span><span class="mbin mtight">+</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em"><span class="pstrut" style="height:2.7em"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">′</span></span></span></span></span><span class="vlist-s"></span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.30643899999999996em"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> é a equação diferencial no passo atual</li></ul><p>Nota-se nessa equação que o método é implícito devido ao termo <span class="math math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n+1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.66666em;vertical-align:-0.08333em"></span><span class="mord mathdefault">n</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.64444em;vertical-align:0em"></span><span class="mord">1</span></span></span></span></span> aparecer em ambos os lados da equação, por isso é necessário um processo iterativo para sua solução.</p><h2><a aria-hidden="true" tabindex="-1" class="anchor enhancedAnchor_2LWZ" id="referências"></a>Referências<a class="hash-link" href="#referências" title="Direct link to heading">#</a></h2><ol><li>MILANO, F. Power System Modelling and Scripting. London: Springer, 2010. doi: <a href="https://doi.org/10.1007/978-3-642-13669-6" target="_blank" rel="noopener noreferrer">https://doi.org/10.1007/978-3-642-13669-6</a></li><li>KUNDUR, P.; et al. Definition and classification of power system stability. IEEE Transactions Power Systems, v. 19, n. 2, mai 2004, p. 1387-1401. doi: <a href="https://doi.org/10.1109/TPWRS.2004.825981" target="_blank" rel="noopener noreferrer">https://doi.org/10.1109/TPWRS.2004.825981</a></li><li>ARRILLAGA, J.; WATSON, N. R. Computer Modelling of Electrical Power Systems. Wiley & Sons, New York, 2001. doi: <a href="https://doi.org/10.1002/9781118878286" target="_blank" rel="noopener noreferrer">https://doi.org/10.1002/9781118878286</a></li><li>PARK, R. H. Two-reactions Theory of Synchronous Machine. Generalized Method of Analysis – Part I. AIEE Transactions, v. 48, n. 3, jul 1929. doi: <a href="https://doi.org/10.1109/T-AIEE.1929.5055275" target="_blank" rel="noopener noreferrer">https://doi.org/10.1109/T-AIEE.1929.5055275</a></li><li>ANDERSON, P. M.; FOUAD, A. A. Power System Control and Stability. Wiley-IEEE Press, New York, 2002. doi: <a href="https://doi.org/10.1109/9780470545577" target="_blank" rel="noopener noreferrer">https://doi.org/10.1109/9780470545577</a></li><li>SAUER, P. W.; PAI, M. A. Power System Dynamics and Stability. Pretience Hall, Upper Saddle River, 1998.</li><li>KUNDUR, P. Power System Stability and Control. McGraw-Hill, New York, 1994.</li><li>DOMMEL, H. W.; SATO, N. Fast Transient Stability Solutions. IEEE Transactions on Power Aparatus and Systems, v. PAS-91, n. 4, jul 1972, p. 1643-1650. doi: <a href="https://doi.org/10.1109/TPAS.1972.293341" target="_blank" rel="noopener noreferrer">https://doi.org/10.1109/TPAS.1972.293341</a></li></ol></div></article><div class="margin-vert--xl"><div class="row"><div class="col"><a href="https://github.com/Thales1330/PSP/tree/master/docusaurus/docs/stability.md" target="_blank" rel="noreferrer noopener"><svg fill="currentColor" height="1.2em" width="1.2em" preserveAspectRatio="xMidYMid meet" role="img" viewBox="0 0 40 40" class="iconEdit_2_ui" aria-label="Edit page"><g><path d="m34.5 11.7l-3 3.1-6.3-6.3 3.1-3q0.5-0.5 1.2-0.5t1.1 0.5l3.9 3.9q0.5 0.4 0.5 1.1t-0.5 1.2z m-29.5 17.1l18.4-18.5 6.3 6.3-18.4 18.4h-6.3v-6.2z"></path></g></svg>Edit this page</a></div></div></div><div class="margin-vert--lg"><nav class="pagination-nav" aria-label="Docs pages navigation"><div class="pagination-nav__item"><a class="pagination-nav__link" href="/PSP/docs/harmonics"><div class="pagination-nav__sublabel">Previous</div><div class="pagination-nav__label">« Harmônicos</div></a></div><div class="pagination-nav__item pagination-nav__item--next"><a class="pagination-nav__link" href="/PSP/docs/simulationConfig"><div class="pagination-nav__sublabel">Next</div><div class="pagination-nav__label">Configurações da Simulação »</div></a></div></nav></div></div></div><div class="col col--3"><div class="tableOfContents_35-E thin-scrollbar"><ul class="table-of-contents table-of-contents__left-border"><li><a href="#execução-do-estudo-de-estabilidade-no-psp-ufu" class="table-of-contents__link">Execução do estudo de estabilidade no PSP-UFU</a><ul><li><a href="#inserindo-um-evento-de-estabilidade" class="table-of-contents__link">Inserindo um evento de estabilidade</a></li><li><a href="#erros-comuns-na-execução-do-estudo-de-estabilidade" class="table-of-contents__link">Erros comuns na execução do estudo de estabilidade</a></li></ul></li><li><a href="#estrutura-da-ferramenta-de-estabilidade" class="table-of-contents__link">Estrutura da ferramenta de estabilidade</a><ul><li><a href="#integração-numérica" class="table-of-contents__link">Integração numérica</a></li></ul></li><li><a href="#referências" class="table-of-contents__link">Referências</a></li></ul></div></div></div></div></main></div></div><footer class="footer footer--dark"><div class="container"><div class="row footer__links"><div class="col footer__col"><h4 class="footer__title">Guide</h4><ul class="footer__items"><li class="footer__item"><a class="footer__link-item" href="/PSP/docs/">PSP-UFU Guide</a></li><li class="footer__item"><a href="https://thales1330.github.io/PSP/doxygen/html/index.html" target="_blank" rel="noopener noreferrer" class="footer__link-item">Code Documentation</a></li></ul></div><div class="col footer__col"><h4 class="footer__title">Community</h4><ul class="footer__items"><li class="footer__item"><a href="https://github.com/Thales1330/PSP/issues" target="_blank" rel="noopener noreferrer" class="footer__link-item">Ask a question</a></li><li class="footer__item"><a href="https://twitter.com/PspUfu" target="_blank" rel="noopener noreferrer" class="footer__link-item">Twitter</a></li></ul></div><div class="col footer__col"><h4 class="footer__title">Site Image Credit</h4><ul class="footer__items"><li class="footer__item"><a href="http://www.freepik.com/" target="_blank" rel="noopener noreferrer" class="footer__link-item">Images designed by upklyak / slidesgo / macrovector / Freepik</a></li></ul></div></div><div class="footer__bottom text--center"><div class="footer__copyright">Copyright © 2021 Thales Lima Oliveira. Built with Docusaurus.</div></div></div></footer></div>
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