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id: transferFunction
title: Função Transferência
sidebar_label: Função Transferência
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import useBaseUrl from "@docusaurus/useBaseUrl";
A Função Transferência é um importante bloco elementar e essencial em um sistema de controle, visto que esse componente possibilita a representação de sistemas dinâmicos por meio de equações algébricas no domínio da frequência.
:::info Informação
Nesses blocos é utilizado a letra “**s**” para representação no domínio da frequência, pois essa é a terminologia mais utilizada em sistemas de controle.
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## Função Transferência no PSP-UFU
Após a inserção da função transferência, o programa a transforma na representação em espaço de estado, visto que sua solução é sistemática tornando-a, assim, mais eficiente computacionalmente.
Dada uma função transferência genérica abaixo:
$$
\frac{Y(\bold{s})}{U(\bold{s})} = \frac{b_0 \bold{s}^k + b_1 \bold{s}^{k-1} + \cdots + b_{k-1} \bold{s} + b_k}{\bold{s}^k + a_1 \bold{s}^{k-1} + \cdots + a_{k-1} \bold{s} + a_k}
$$
A transformação em espaço de estado na *forma canônica controlável* ficará da seguinte forma:
$$
\begin{bmatrix}
\bold{s}x_1\\
\bold{s}x_2\\
\vdots\\
\bold{s}x_{k-1}\\
\bold{s}x_k
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1\\
-a_k & -a_{k-1} & -a_{k-2} & \cdots & -a_1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
\vdots\\
x_{k-1}\\
x_k
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0\\
0\\
\vdots\\
0\\
1
\end{bmatrix}
u_n\\
y_n =
\begin{bmatrix}
\left( b_n - a_n b_0 \right) & \left( b_{n-1} - a_{n-1} b_0 \right) & \cdots & \left( b_1 - a_1 b_0 \right)
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
\vdots\\
x_k
\end{bmatrix}
+
b_0 u_n
$$
A equação diferencial matricial é resolvida pelo método **Trapezoidal Implícito**. Um processo iterativo é realizado até que o erro entre os cálculos se torne menor que uma tolerância pré-estipulada e caso as iterações se tornem excessivas, ultrapassando um número máximo definido pelo usuário, o processo é interrompido com erro. Com os valores do vetor de estado ($x$) calculados obtém-se o valor da saída do bloco ($y_n$).
## Formulário de edição de dados da Função Transferência
A figura abaixo apresenta o formulário de edição de dados da função transferência.
A função transferência é definida pelos coeficientes do numerador e denominador, **separados por espaço**.
:::caution Atenção!
Os elementos não presentes são representados como coeficientes de valor zero.
Por exemplo, um parâmetro inserido igual a “$\begin{matrix} 1 & 0{,}5 & 0 & 2 \end{matrix}$” irá gerar: “$s^3+0{,}5s^2+2$”.
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## Referências
1. OGATA, K. Modern Control Engineering. Prentice Hall Inc., New Jersey, 2004.
![Formulário de edição de dados da função transferência no PSP-UFU]({useBaseUrl("images/transferFunctionForm.png")} "Formulário de edição de dados da função transferência no PSP-UFU")